（a)证明:对一切n∈N,如果f∈A,A和f是单射的（满射的,双射的),那么f也是单射的（满射的,双射的)。 （b)找出一集合A和函数f,g∈A,A，使f是单射的,g是满射的,但都不是双射的，选用A尽可能地小。

设习为正项级数,且存在正数N₀,对一切n＞N₀,

有证明:若级数收敛,则级数也收敛;若发散,则习也发散.

设是P上n维线性空间V的一个线性变换。

1)证明：对V上的线性函数f，f仍是V上线性函数;

2)定义V*到自身的映射为。证明：是V*上的线性变换;

3)设ε₁，ε₂，...，ε_n是V的一组基，f₁，f₂，...，f_n是它的对偶基，并设在ε₁，ε₂，...，ε_n下的矩阵为A，证明：在f₁，f₂，...，f_n下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)

如果f(x)=,证明f(-x)=f(x).

设f(x₁，x₂，···，x_n)=X'AX是一实二次型，λ₁，λ₂，···，λ_n是A的特征多项式的根，且λ₁≤λ₂≤···≤λ_n。证明：对任一X∈Rⁿ，有

如果f(x)=ax(a＞0且a≠1),证明:

设α₁，α₂，...，α_n是欧氏空间V的一组基，证明：

1)如果γ∈V使(γ，α_i)=0，i=1，2，...，n，那么γ=0;

2)如果γ₁-γ₂∈V使对任一α∈V有(γ₁，α)=(γ₂，α)，那么γ₁=γ₂。

如果函数f(z)在可求面积的区域D内单叶解析，并且满足条件|f(z)|≤1，证明:

设是映射，又令，证明：

(i)如果h是单射，那么f也是单射;

(ii)如果h是满射，那么g也是满射;

(iii)如果f，g都是双射，那么h也是双射，并且