计算曲线y= (3- x)上相应于1≤x≤3的一段弧(图6-13)的长度.

设证明:当时,u,v可以用采作为曲线坐标;解出x,y作为u,v的函数;曲出xy平面上u=1,v=2所对应的坐标曲线;计算并验证它们互为倒数.

计算下列二重积分：

(1)其中D为矩形域：0≤x≤π，1≤y≤e;

(2)其中D为矩形域：0≤x≤π/4，0≤y≤π/4;

(3)，其中D为由抛物线x=√(1-y)与直线x=0，y=0所围成的区域;

(4)，其中D为由(x-a)²+(y-a)²=a²的下半圆与直线x=0、y=0所围成的区域;

(5)，其中D为矩形域：-1≤x≤1，0≤y≤1;

(6)，其中D为圆域：x²+y²≤x;

(7)其中D为由曲线y=x³与直线x=-1、y=1所围成的区域，f是D上的连续函数;

(8)，其中D为由不等式x²+y²≥2和x²+y²≤2x所围成的区域。

利用直角坐标计算下列三重积分:

(1),其中几由平面y=x,x=1,z=0及曲面z=xy围成;

(2),其中是由平面x=0,y=0,z=0及x+v+x=1所围成的四面体.

计算积分，其中C是一条闭路，由直线段：-1≤x≤1，y=0与上半单位圆周组成。

设曲线在右半平面(x＞0)内与路径无关,其中f(x)可导，f(1)=1,求f(x)。

计算下列各三重积分:

(1)其中Ω为由坐标平面x=0,y=0,z=0和平面x+y+z=1围成的四面体.

计算下列三重积分:

Ω是由平面x=0、y=1、z=0、y=x和曲面z=xy所围成的闭区域。

Ω是两个球体x²+y²+z²≤R²和x²+y²+z²≤2Rz的公共部分(R＞0)