设f为区间I上的单调函数.证明:若x0∈I为f的间断点,则x₀必是f的第一类间断点.

设函数f(x)为[0,1]上的单调减少且恒大于零的连续函数,证明:

设f(x)单调下降,且,证明:若f'(x)在[0,+∞)上连续,则反常积分收敛.

设f在U°（x₀)内有定义.证明:若对任何数列都存在,则所有这些极限都相等.

设f在U°(x₀)内有定义.证明:若对任何数列

都存在,则所有这些极限都相等.

设f(x)在[0,1]上连续,且单调减少,证明对任意α∈[0,1],成立

若收敛,则称f(x)在[a,+∞)上平方可积(类似可定义无界函数在[a,b]上平方可积的概念).

(1)对两种反常积分分别探讨f(x)平方可积与f(x)的反常积分收敛之间的关系;

(2)对无穷区间的反常积分,举例说明,平方可积与绝对收敛互不包含;

(3)对无界函数的反常积分,证明:平方可积必定绝对收敛,但逆命题不成立.

应用有限覆盖定理证明闭区间连续函数的一致连续性.若函数f（x)在闭区间[a,b]连续,则函数f（x)在闭区间[a,b]一致连续.

设f为(-∞,+∞)上的二阶可导函数,若f在(-∞,+∞)上有异，则存在ξ∈(-∞,+∞),使

设是P上n维线性空间V的一个线性变换。

1)证明：对V上的线性函数f，f仍是V上线性函数;

2)定义V*到自身的映射为。证明：是V*上的线性变换;

3)设ε₁，ε₂，...，ε_n是V的一组基，f₁，f₂，...，f_n是它的对偶基，并设在ε₁，ε₂，...，ε_n下的矩阵为A，证明：在f₁，f₂，...，f_n下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)

(Jensen不等式)设f(x)为[a,b]上的连续下凸函数,证明对于任意x_i∈[a,b]和名γ_i＞0(i=1,2,...,n),,成立

设函数f定义在（a,+∞)上,f在每一个有限区间（a,b)内有界,并满足