设函数f（u,v)在R²上具有二阶连续偏导数。证明:函数

设其中f(u,v)具有二阶连续偏导数,g(u)具有二阶导数,则=().

(1)f(x,y)在(x,y)可微分是f(x,y)在该点连续的()条件,f(x,y)在点连续是f(x,y)在该点可微分的()条件

(2)z=f(x,y)在点(x,y)的偏导数存在是f(x,y)在该点可微分的()条件,z=f(x,y)在点(x,y)可微分是函数在该点的偏导数存在的()条件.

(3)z=f(x,y)的偏导数,在(x,y)存在且连续是f(x,y)在该点可微分的()条件.

(4)函数z=f(x,y)的两个二阶偏导数在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的()条件.

设函数f(u)连续,,则等于().

设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(x)＞0,证明:

设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(x)在关于对称的点处取相同的值.试证:

设是P上n维线性空间V的一个线性变换。

1)证明：对V上的线性函数f，f仍是V上线性函数;

2)定义V*到自身的映射为。证明：是V*上的线性变换;

3)设ε₁，ε₂，...，ε_n是V的一组基，f₁，f₂，...，f_n是它的对偶基，并设在ε₁，ε₂，...，ε_n下的矩阵为A，证明：在f₁，f₂，...，f_n下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)

求由下列方程所确定的函数z=f(x,y)的一阶和二阶的偏导数:

若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导函数,且

证明:在(x₁,x₃)内至少有一点ξ,使得f"(ξ)=0.

设为具有连续导数的向量值函数，且满足

证明：对于任何R³上具有连续偏导数的函数g(x,y,z)成立